ЕГЭ 2023. Анализ ошибок. Пример 14

[Александр Сакович]

Пример 14. Плоская монохроматическая световая волна с длиной волны 400 нм падает по нормали на дифракционную решётку. Параллельно решётке позади неё размещена собирающая линза. Дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы. Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно 16 мм. Найдите период решётки, если фокусное расстояние линзы равно 24 см. Считать для малых углов (φ « 1 в радианах) φ ≈ sin φ ≈ tg φ.
Ответ: ____ мкм.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2023 года по физике. Москва, 2023.

[Александр Сакович]

Авторские рекомендации. Чтобы решить задачу, нужны формулы для определения периода дифракционной решетки и для определения максимумов дифракционной решетки, которые хорошо известны выпускникам. Однако типичной ошибкой здесь было непонимание того, что расстояние от линзы до экрана в данном случае совпадает с фокусным расстоянием линзы, т.е.
\[\frac{x}{L}=\frac{k \cdot \lambda }{d},\]
где x — расстояние от центра экрана до главного максимума данного порядка, L = F — расстояние от линзы до экрана.

[Александр Сакович]

Решение. Условие максимума освещенности для дифракционной решетки
\[d \cdot \sin \beta =m \cdot \lambda .\]
С учетом условия получаем (см. рисунок 1), что
\[\sin \beta \approx tg \beta =\frac{h}{l},\]
где l = F (дифракционная картина наблюдается на экране в задней фокальной плоскости линзы, расстояние между решеткой и линзой на решение не влияет), h — расстояние от главной оптической оси линзы до максимума m-го порядка.

Тогда
\[d \cdot \frac{h}{F}=m \cdot \lambda ,\ \ h=\frac{m \cdot F\cdot \lambda }{d}. \;\;\;(1)\]
Запишем уравнение (1) для разных значений m₁ = 1 и m₂ = 2:
\[h_1=\frac{m_1 \cdot F \cdot \lambda }{d},\ \ h_2=\frac{m_2 \cdot F \cdot \lambda }{d}.\]
Расстояние между её главными максимумами 1-го и 2-го порядков равно (см. рисунок 2)
\[\Delta h=BC=AC-AB=h_2-h_1=\frac{m_2 \cdot F \cdot \lambda }{d}-\frac{m_1 \cdot F \cdot \lambda }{d}=\frac{\left( m_2-m_1 \right) \cdot F \cdot \lambda }{d}.\]
В итоге получаем
\[d=\frac{\left( m_2-m_1 \right) \cdot F \cdot \lambda }{\Delta h},\]

d = 6·10^–6 м = 6 мкм.

Ответ: 6 мкм.